tìm hệ số của số hạng chứa x 8

Đối với các biểu thức dạng (a + b + c)^ ta biến đổi (a + b + c)^ rồi áp dụng khai triển nhị thức Newton 2 lần và tìm số hạng tổng quát. BÀI TẬP DẠNG 4: Ví dụ 1. Tìm hệ số của 215 trong khai triển (3×2 - 2). Theo công thức ở trên, ta có số hạng tổng quát trong khai triển. Vậy số hạng chứa 215 trong khai triển là T5 = 315. Ví dụ 2. ° Dạng 2: Tìm giá trị lớn số 1 và quý hiếm của duy nhất của hàm số trên khoảng tầm (a;b). * phương thức giải:), ta thực hiện công việc sau: - bước 1: kiếm tìm tập xác định D cùng tập X - bước 2: Tính y" và giải phương trình y" = 0. - cách 3: Tìm các giới hạn khi x dần Các Hệ Điều Hành Được Hỗ Trợ Windows 10, 64-bit*, Windows 8.1, 64-bit*, Windows 7, 64-bit* Số Bảng NUC5CPYB; Kiểu hình thức của bo mạch UCFF (4" x 4") Chân cắm Soldered-down BGA; Kiểu hình thức ổ đĩa Trong 2.5" Drive; Số lượng ổ đĩa trong được hỗ trợ 1; TDP 6 W Giả thiết rằng A là một ma trận m × n, và ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính f liên hệ với nó bởi f(x) = Ax như trên. Hạng của một ma trận m × n là một số nguyên không âm và không thể lớn hơn m hay n. Tức là, Một ma trận có rank bằng min (m, n) được gọi là có hạng đầy Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{9}\) trong khai triển nhị thức Newton \(\left(x^{2} -\frac{5}{x^{3} } \right)^{n} . \)Biết rằng \(C_{n+4}^{n+1} -C_{n+3}^{n} =7\left(n+3\right). đã hỏi 18 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 11 bởi nhthuyvy16 Cộng Tác Viên Thạc sĩ ( 8.7k điểm) Hệ số của số hạng đựng $x^8$ ứng với $x^i,+,4=x^8Leftrightarrow i=4,,xrightarrow,,$ Hệ số của $x^8$ là $C_8^4.3^4.$ Vậy thông số đề nghị tra cứu là $2^6.C_10^6 - 3^4.C_8^4 = 7770.$ Đáp án nên chọn là: b Xem thêm: Dĩ Tân Âm Dương Sư - Ghim Của Dĩ Tân Chân Thiên Trên Âm Dương Sư Câu hỏi liên quan Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số hoặc số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển chứa điều kiện, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và xác PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Các bài toán loại này thường chưa biết $n$ trong khai triển, do đó ta thực hiện các bước + Từ điều kiện bài toán tìm $n$ hoặc các ẩn liên quan. + Sau đó thực hiện tương tự bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển biết $n$ đã được đề cập trước đó trên BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Tìm số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ với $x \ne 0.$Lời giải Xét phương trình $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 3}\\ {n \in Z} \end{array}} \right..$ Phương trình $ \Leftrightarrow 5.\frac{{n!}}{{n – 1!}} = \frac{{n!}}{{3!n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow 5n = \frac{{nn – 1n – 2}}{6}.$ $ \Leftrightarrow 30 = {n^2} – 3n + 2$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7}\\ {n = – 4\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Khi đó ${\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ $ = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}.{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là ${T_{k + 1}}$ $ = C_7^k{\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}.{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = C_7^k.\frac{{{x^{14 – 2k}}}}{{{2^{7 – k}}}}.\frac{{{{ – 1}^k}}}{{{x^k}}}$ $ = C_7^k.\frac{{{{ – 1}^k}}}{{{2^{7 – k}}}}.{x^{14 – 3k}}.$ Nếu hạng tử ${T_{k + 1}}$ chứa ${x^5}$ thì $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ là số hạng thứ $4$ trong khai triển là ${T_6} = C_7^3.\frac{{{{ – 1}^3}}}{{{2^4}}}.{x^5} = – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$Bài 2 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${2 + x^n}$, biết ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + { – 1^n}C_n^n = 2048.$Lời giải Ta có ${3 + x^n}$ $ = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}}x$ $ + C_n^2{3^{n – 2}}{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$ Chọn $x = – 1$, ta được ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + { – 1^n}C_n^n$ $ = {3 – 1^n} = {2^n}.$ Từ giả thiết suy ra ${2^n} = 2048 = {2^{11}}$ $ \Leftrightarrow n = 11.$ Suy ra ${2 + x^n}$ $ = {2 + x^{11}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {2^{11 – k}}{x^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{11}^k{2^{11 – k}}{x^k}.$ Cho $k =10$, ta được hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển là $C_{11}^{10}.2 = 22.$Bài 3 Trong khai triển nhị thức ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^n}$, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là $35.$ Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nói trên với $n \in {N^*}$.Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – 2k}}.$ Hệ số của số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_n^k.$ Theo giả thiết ta có $C_n^2 – C_n^1 = 35$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {\frac{{n!}}{{2!n – 2!}} – n = 35} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {\frac{{nn – 1}}{2} – n = 35} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {{n^2} – 3n – 70 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 10.$ Do đó ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5 = 252.$Bài 4 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^n}$, biết rằng $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$ và $x$ là số thực khác $0$.Lời giải Ta có $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{n – 1!}} + \frac{{n!}}{{3!n – 3!}} = 13n$ $ \Leftrightarrow n + \frac{{nn – 1n – 2}}{6} = 13n.$ $ \Leftrightarrow 1 + \frac{{n – 1n – 2}}{6} = 13$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 70 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 10}\\ {n = – 7\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Do đó ${\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^n}$ $ = {\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{\left {{x^{ – 3}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{20 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển $C_{10}^k{x^{20 – 5k}}.$ Hệ số không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4 = 210.$Bài 5 Khai triển biểu thức ${1 – 2x^n}$ ta được đa thức có dạng ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Tìm hệ số của ${x^5}$ biết rằng ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71.$Lời giải Ta có ${1 – 2x^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{ – 2^k}{x^k}.$ Do đó ${a_k} = C_n^k.{ – 2^k}$, $\forall k = \overline {0..n} .$ Khi đó ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71$ $ \Leftrightarrow C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 71.$ $ \Leftrightarrow 1 – 2n + 4\frac{{nn – 1}}{2} = 71$ $ \Leftrightarrow {n^2} + 2n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 5}\\ {n = – 7\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Suy ra ${1 – 2x^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.} { – 2^k}.{x^k}.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^5{ – 2^5} = – 672.$Bài 6 Tìm hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$, biết rằng $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x = 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Áp dụng công thức $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, ta có $* \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n – 1}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow 2\left {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – 1.$ Từ giả thiết ta có ${2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Leftrightarrow n = 10.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$ $ = {\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^{ – 4}}} \right^{10 – k}}{\left {{x^7}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{x^{11k – 40}}.$ Hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^6 = 210.$Bài 7 Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${2 – 3x^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$Lời giải Ta có ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x = 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Chọn $x = -1$, ta được $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2$ $ + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}$ $ = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$ Từ $*$ suy ra $2\left {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right$ $ = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$ Theo giả thiết ta có ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$ Từ đó suy ra ${2 – 3x^{2n}}$ $ = {2 – 3x^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{ – 1}^k}} C_{10}^k{2^{10 – k}}{3x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{ – 1}^k}} {.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là ${ – 1^k}{.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}.{x^k}.$ Để có hệ số chứa ${x^7}$ tương ứng với giá trị của $k$ thỏa mãn $k =7.$ Vậy hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển là ${ – 1^7}{.3^7}.C_{10}^7{.2^3}$ $ = – C_{10}^7{3^7}{2^3} = 2099520.$Bài 8 Tìm hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^n}$, biết rằng $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7n + 3$ $n$ nguyên dương, $x>0$.Lời giải Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7n + 3$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4!}}{{3!n + 1!}} + \frac{{n + 3!}}{{3!n!}}$ $ = 7n + 3.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4n + 3n + 2}}{6}$ $ – \frac{{n + 3n + 2n + 1}}{6}$ $ = 7n + 3.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4n + 2}}{6}$ $ – \frac{{n + 2n + 1}}{6} = 7$ $ \Leftrightarrow n + 4n + 2 – n + 2n + 1 = 42.$ $ \Leftrightarrow 3n + 6 = 42$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^n}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^k}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{\left {{x^{ – 3}}} \right^k}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12 – k}}$ $ = C_{12}^k{x^{\frac{{60 – 11k}}{2}}}.$ Để có hệ số chứa ${x^8}$ thì $\frac{{60 – 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow 60 – 11k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!12 – 4!}} = 495.$Bài 9 Cho khai triển ${\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}} + {2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^n}$ $ = C_n^0{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^n}$ $ + C_n^1{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^{n – 1}}\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right$ $ + \ldots + C_n^{n – 1}\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^{n – 1}}$ $ + C_n^n{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^n}$ $n$ là số nguyên dương. Biết rằng trong khai triển đó có $C_n^3 = 5C_n^1$ và số hạng thứ tư bằng $140.$ Tìm $n$ và $x.$ Lời giải Xét phương trình ${C_n^3 = 5C_n^1}$ điều kiện ${n \ge 3}$. Ta có $C_n^3 = 5C_n^1$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!n – 3!}} = 5\frac{{n!}}{{n – 1!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{nn – 1n – 2}}{6} = 5n.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – 1n – 2}}{6} = 5$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7}\\ {n = – 4\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Số hạng thứ tư trong khai triển là $C_n^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^{n – 3}}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3}$ $ = C_7^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^4}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3}.$ Theo đề bài ta có $C_7^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^4}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3} = 140$ $ \Leftrightarrow { – 2}}{.2^{ – x}} = 140$ $ \Leftrightarrow {2^{x – 2}} = 4$ $ \Leftrightarrow x – 2 = 2$ $ \Leftrightarrow x = 4.$ Vậy $n = 7$ và $x = 4.$Bài 10 Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}.$ Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}}$ $ + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n$ $1.$ Và ${x + 2^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}}$ $ + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + {2^3}C_n^3{x^{n – 3}}$ $ + \ldots + {2^n}C_n^n$ $2.$ Với $n = 1$, ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ $ = \left {{x^2} + 1} \rightx + 2$ $ = {x^3} + 2{x^2} + x + 2$ không thỏa mãn hệ thức ${a_{3n – 3}} = 26n.$ Tương tự với $n = 2$, cũng không thỏa mãn. Với $n \ge 3$, ta có ${x^{3n – 3}} = {x^{2n}}.{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}.{x^{n – 1}}.$ Suy ra hệ số chứa ${x^{3n – 3}}$ bằng tổng của tích hệ số chứa ${x^{2n}}$ trong $1$ với hệ số chứa ${x^{n – 3}}$ trong $2$ và tích hệ số chứa ${x^{2n – 2}}$ trong $1$ với hệ số chứa ${x^{n – 1}}$ trong $2.$ Hay ta có ${a_{3n – 3}} = {2^3}.C_n^ + $ \Leftrightarrow {2^3}.1.\frac{{n!}}{{3!n – 3!}} + 2{n^2} = 26n.$ $ \Leftrightarrow \frac{{4nn – 1n – 2}}{3} + 2{n^2} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n – 1n – 2}}{3} + n = 13.$ $ \Leftrightarrow 2{n^2} – 3n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 5}\\ {n = – \frac{7}{2}\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Vậy $n = 5.$ giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số không chứa x, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Nội dung bài viết Tìm hệ số không chứa x Để tìm số hạng không chứa c trong khai triển Px, ta tìm số hạng tổng quát trong khai triển. Sau đó, cho số mũ của c bằng 0 để tìm hằng số k, từ đó suy ra số hạng không chứa c. Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa c trong khai triển Pc. Ta phải tìm k sao cho 6 – 3k = 0 + k = 2. Vậy số hạng cần tìm là C226-27-1 = 240. Ví dụ 2. Tìm số hạng không chứa 2 trong khai triển P. Số hạng tổng quát trong khai triển là C-27. Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển Px. Do n là số tự nhiên nên m = 12. Với m = 12, số hạng tổng quát trong khai triển là 24-3k. Ta phải tìm k sao cho 24 – 3k = 0 + k = 8. Vậy số hạng cần tìm là C 2^n. Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa c trong khai triển Px. Ta phải tìm k sao cho –8 + 4k = 0 + k = 2. Vậy số hạng cần tìm là C26. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển Px = 2×2 + 1 với khác 0. Ta phải tìm k sao cho 12 – 3k = 0, k = 4. Vậy số hạng cần tìm là= 4860. Bài 2. Tìm số hạng không chứa 1 trong khai triển Px = x – 4 với z khác 0 biết 2C = C. Lời giải. Điều kiện m > 3, n + N. Ta phải tìm k sao cho 8 – 2k = 0 + k = 4. Vậy số hạng cần tìm là C4 = 70. Bài 3. Cho khai triển Px = x+3. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển, biết số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5. Số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5 nên AC = 5 + n = 9. Với n = 9, số hạng tổng quát của khai triển. Ta tìm k sao cho 9 – k = 0 = k = 9. . Vậy số hạng không chứa c là CH3- = neo. Imagens de câmeras de segurança mostram Bruno de Souza Rodrigues carregando cachorro da raça yorkshire e entrando em veículo branco em Campo Grande Bruno Rodrigues, preso pelos crimes de homicídio qualificado e ocultação de cadáver Reprodução Apontado como principal suspeito da morte do ator Jeff Machado, o produtor de TV Bruno de Souza Rodrigues é procurado da polícia desde o dia 2 de junho, quando foi decretada prisão temporária pelo homicídio e ocultação de cadáver do artista. Desde então, a Delegacia de Descobertas de Paradeiros DDPA está em busca do produtor. Bruno foi visto saindo de um apartamento na Estrada do Monteiro, em Campo Grande, no dia 27 de maio. Imagens de câmera de segurança mostram o produtor saindo da residência, usando camisa branca, boné, segurando uma bolsa com um cachorro da raça yorkshire e entrando em um carro branco. Suspeito de morte do ator Jeff Machado é flagrado saindo de uma casa na Zona Oeste Segundo as investigações, o apartamento seria de um amigo de Bruno, e há indícios de que ele esteve escondido no imóvel pelo menos até a véspera de o mandado de prisão ser expedido, na última quinta-feira. O cachorro carregado pelo suspeito, segundo a polícia, se chama Chanel e é sempre visto com o suspeito. Pedido de habeas corpus A defesa de Bruno Rodrigues pediu habeas corpus a favor dele na terça-feira, ao Tribunal de Justiça do Rio. Contra ele, há um mandado de prisão pela morte e ocultação do cadáver de Jeff Machado, assassinado em 23 de janeiro. Na última quinta-feira, a Justiça determinou a prisão temporária dos envolvidos no crime Jeander Vinícius, que foi preso na sexta, e Bruno, que segue foragido. Bruno Rodrigues, preso pelos crimes de homicídio qualificado e ocultação de cadáver — Foto Reprodução No pedido de habeas corpus, a defesa alega que Bruno não precisa estar preso para que a investigação tenha prosseguimento, principalmente porque, agora, testemunhas já ouvidas pela polícia vão prestar novos depoimentos. O documento também explica que Bruno indicou para a polícia o local do corpo, colaborando para a conclusão do inquérito. Veja fotos dos cachorros do ator Jeff Machado 1 de 8 Tim Maia, Nando Reis, Elis Regina, Cazuza, Vinícius de Moraes, Gilberto Gil, Rita Lee e Caetano Veloso — Foto Reprodução / Instagram 2 de 8 Jeff com os cães durante encontro de Setters no Rio, em 2021 — Foto Reprodução / Instagram 8 fotos 3 de 8 Cães ganharam nomes de artistas brasileiros Caetano Veloso, Rita Lee, Miúcha, Nando Reis, Gilberto Gil, Cazuza, Tim Maia, Nara Leão e Vinícius de Moraes — Foto Reprodução / Instagram 4 de 8 A dupla batizada de Gilberto Gil e Caetano Veloso — Foto Reprodução / Instagram 5 de 8 A chow-chow Nara Leão do ator Jeff Machado — Foto Reprodução / Instagram 6 de 8 Jeff também costumava postar fotos com os pets de amigos — Foto Reprodução / Instagram 7 de 8 O setter Vinícius de Moraes — Foto Reprodução / Instagram 8 de 8 Tim Maia — Foto Reprodução / Instagram Campo Grande Polícia Civil Rio de Janeiro RJ Câu hỏi Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 - 1 x 4 n biết A n 2 = C n 2 + C n 1 + 4 n + 6 A. 505 B. -405 C. 495 D. -505 Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển \\leftx-\dfrac{2}{x}\right^{n^{ }}\ , biết n là số tự nhiên thỏa mãn \C^3_n=\dfrac{4}{3}n+2C^2_n\ Xem chi tiết 1/ Giải phương trình sautan^2leftx+dfrac{pi}{3}right+leftsqrt{3}-1righttanleftx+dfrac{pi}{3}right-sqrt{3}02/ Tìm hệ số của số hạng chứa x^{26} trong khai triển leftdfrac{1}{x^4}+x^7right^n . Biết C^2_{n+2}-4C^n_{n+1}2leftn+1right n ∈ N* ; x 0Đọc tiếp Xem chi tiết Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a Gọi x là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu – tơn x 2 - 2 x n C n 0...Đọc tiếp Xem chi tiết Cho khai triển 1 + x n với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển biết C 2 n + 1 1 + C 2...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x - 1 x n với x ≠ 0 , biết n là số tự nhiên thỏa mãn C n 2 C n n - 2 + 2...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của 1 x 3 + x 5 n , biết rằng C n + 4...Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm a trong khai triển 1 + a x 1 - 3 x 6 , biết hệ số của số hạng chứa x 3 là 405 A. 3 B. 7 C. -3 D. -7Đọc tiếp Xem chi tiết Xét khai triển \\left2x+\frac{1}{x}\right^{20}\a Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triểnb Số hạng nào trong khai triển không chứa xc Xác định hệ số \x^4\trong khai triển Xem chi tiết Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 x 2 - 3 x n x ≠ 0 , biết rằng 1 . C n 1 + 2 ....Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển Nhị thức Niu tơn của n 2 x + x 2 2 n x ≠ 0, biết số nguyên dương n thỏa mãn C n...Đọc tiếp Xem chi tiết Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ $n$, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phương pháp + Áp dụng khai triển ${a + b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.$ + Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng $A.{x^{fk}}$ với $x$ là ẩn. + Đối chiếu với giả thiết giải phương trình $fk = h$, tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số cần tìm. Lưu ý Một số tính chất của lũy thừa ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$ $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$ ${\left {{a^m}} \right^n} = {a^{ ${ab^m} = {a^m}.{b^m}.$ ${\left {\frac{a}{b}} \right^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.$ $\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.$ $\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.$ $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Tìm hệ số của ${x^{31}}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40 – k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{40}^k{x^{3k – 80}}.$ Để có hệ số của ${x^{31}}$ thì $3k – 80 = 31$ $ \Leftrightarrow k = 37.$ Vậy hệ số của ${x^{31}}$ là $C_{40}^{37} = 9880.$Bài 2 Tìm hệ số không chứa $x$ của khai triển nhị thức Newton của ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ với $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\sqrt[3]{x}^{7 – k}}{\left {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_7^4 = 35.$Bài 3 Tìm hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}.{ – xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k.{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ là $C_{15}^k.{ – 1^k}$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 29}\\ {k = 8} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển là $C_{15}^8.{ – 1^8} = 6435.$Bài 4 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $ = {\left {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^{18}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {2x^{18 – k}}{\left {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{90 – 6k}}{5} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 15.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.$Bài 5 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right^{17}}$ với $x \ne 0.$Lời giải Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{17}^k{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{17 – k}}{\left {{x^{\frac{3}{4}}}} \right^k}$ $ = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {k \le 17} \end{array}} \right..$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{17}^8 = 24310.$Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^8 = 495.$Bài 7 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^3}} \right^{10 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $30 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^6{2^4} = 3360.$Bài 8 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $15 – 2k = 7$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển là $C_{15}^4 = 1365.$Bài 9 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có $ = {\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2x^{10 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5{2^5}{ – 1^5} = – 8064.$Bài 10 Tìm hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} { – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{ – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Hệ số của ${x^{16}}$ là $C_{10}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển $C_{10}^4{ – 2^4} = 3360.$Bài 11 Tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}{xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 25}\\ {k = 10} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 10.$ Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển là $C_{15}^{10} = 3003.$Bài 12 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển của nhị thức Newton ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}.$Lời giải Ta có ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left { – \frac{2}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} { – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – 2k = 8$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{20}^6{ – 2^6} = 2480640.$Bài 13 Tìm hệ số của ${x^8}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ $ = C_8^0 + C_8^1{x^2}1 – x$ $ + C_8^2{x^4}{1 – x^2} + C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ $ + C_8^4{x^8}{1 – x^4} + C_8^5{x^{10}}{1 – x^5}$ $ + C_8^6{x^{12}}{1 – x^6} + C_8^7{x^{14}}{1 – x^7}$ $ + C_8^8{x^{16}}{1 – x^8}.$ Nhận xét Bậc của $x$ trong $3$ số hạng đầu luôn nhỏ hơn $8.$ Bậc của $x$ trong $4$ số hạng cuối luôn lớn hơn $8.$ Do đó ${x^8}$ chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm. Xét trong khai triển $C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Xét trong khai triển $C_8^4{x^8}{1 – x^4}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ là $C_8^ + C_8^ = 238.$Bài 14 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển ${x + 1^4} + {x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là tổng hệ số của ${x^5}$ trong từng khai triển ${x + 1^i}$, $i = \overline {4…7} .$ Nhận xét rằng trong khai triển ${x + 1^4}$ không chứa ${x^5}.$ Ta có ${x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}$ $ = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = 5$ ta được hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.$Bài 15 Cho đa thức $Px = {1 + x^9} + {1 + x^{10}}$ $ + {1 + x^{11}} + \ldots + {1 + x^{14}}$ có dạng khai triển là $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.$ Hãy tính hệ số ${a_9}.$Lời giải Để tính hệ số ${a_9}$ là hệ số của ${x^9}$ ta tính hệ số ${a_9}$ trong từng nhị thức của $Px$ rồi tính tổng của chúng. Xét khai triển ${1 + x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_9^9.$ Xét khai triển ${1 + x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_{10}^9.$ Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong $Px$ ta được ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.$Bài 16 Cho $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm bao nhiêu số hạng?Lời giải Ta có $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left {{x^{ – 2}}} \right^k}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{\left {{x^3}} \right^{10 – h}}{\left {{x^{ – 1}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.$ Trong khai triển ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ có $21$ số hạng và khai triển ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $11$ số hạng. Xét trường hợp $20 – 3k = 30 – 4h$ $ \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.$ Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ suy ra $4h – 10$ phải chia hết cho $3.$ Mặt khác $0 \le h \le 10$, suy ra $h = 4$, $h = 7$, $h = 10.$ Suy ra trong hai khai triển của ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ và ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $3$ số hạng có lũy thừa của $x$ giống nhau. Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm có $21 + 11 – 3 = 29$ số 17 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ bằng tổng hệ số chứa ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5}$ và ${x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Xét khai triển $x{1 – 2x^5}$ $ = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^k{ – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Chọn $k = 4$ ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_5^4{ – 2^4} = 80.$ Xét khai triển ${x^2}{1 + 3x^{10}}$ $ = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3x^h}$ $ = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.$ Chọn $h=3$, ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_{10}^3{3^3} = 3240.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ là $80 + 3240 = 3320.$Bài 18 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{\frac{4}{5}}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k = 729.$ Bài 19 Gọi ${a_0}$, ${a_1}$, ${a_2}$, …, ${a_{11}}$ là hệ số trong khai triển ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.$ Tìm hệ số của ${a_5}.$Lời giải Ta có ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Ta có hệ số ${a_5}$ chính là hệ số của ${x^6}$ trong khai triển. Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}$ có số hạng tổng quát là $C_{10}^k{x^{11 – k}}.$ Chọn $k = 5$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_{10}^5.$ Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}$ có số hạng tổng quát là $2C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Chọn $k = 4$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $2C_{10}^4.$ Vậy ${a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.$Bài 20 Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.$ Chọn $k = 3$, ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là $C_{10}^3 = 120.$Bài 21 Tìm hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.$ Chọn $k = 30$, ta được hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển là $C_{40}^{30} = 847660528.$Bài 22 Tìm hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}$ $ = {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{7 – k}}{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^4{x^2} = 35{x^2}.$Bài 23 Cho đa thức $Px = 1 + x + 2{1 + x^2}$ $ + 3{1 + x^3} + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ được viết dưới dạng $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.$ Tìm hệ số ${a_{15}}$?.Lời giải Hệ số ${a_{15}}$ là hệ số của ${x^{15}}$ trong khai triển $Px.$ Ta nhận thấy ${x^{15}}$ chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ $15$ trở đi, tức là trong tổng $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + 17{1 + x^{17}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}.$ Mà $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ $ = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}$ ta được hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $Px$ là $15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}$ $ + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}$ $ = 400995.$Bài 24 Khai triển $Px = {3 + x^{50}}$ $ = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.$ a/ Tính hệ số ${a_{46}}.$ b/ Tính tổng $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.$Lời giải a Ta có ${3 + x^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}$ $*.$ Ta có ${a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}$, $\forall k = \overline {0..50} .$ Suy ra ${a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.$ b Nhận thấy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.$ Từ $*$ chọn $x= 1$, ta được ${3 + 1^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}$ $ \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.$ Vậy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.$Bài 25 a/ Tìm số hạng của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ là một số nguyên. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}.$ c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}.$ d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}.$Lời giải a Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {{3^{\frac{1}{2}}}} \right^{9 – k}}{\left {{2^{\frac{1}{3}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^k{3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3}\\ {k = 9} \end{array}} \right..$ Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là ${T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536$, ${T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.$ b Ta có ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}$ $ = {3^3}{\left {1 – \sqrt 5 } \right^6}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $27C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Để có số hạng hữu tỷ thì ${5^{\frac{k}{2}}}$ là số hữu tỷ, suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \vdots 2}\\ {k = \overline {0..6} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ là ${T_1} = 27C_6^0 = 27$, ${T_3} = 27C_6^2.{ – 1^2}.5 = 810$, ${T_5} = 27C_6^4{ – 1^4}{.5^2} = 10125$, ${T_7} = 27C_6^6{ – 1^6}{.5^3} = 3375.$ c Ta có ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right^{36}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa $k$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {36 – k \vdots 5}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..36} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là ${T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}$, ${T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}$, ${T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.$ d Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right^{124}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {124 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 4}\\ {k = \overline {0..124} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4h}\\ {k = \overline {0..124} }\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124$ $ \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.$ Vậy có $32$ số hạng nguyên trong khai triển. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử ba hạng tử, bốn hạng tử …, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và Xác 1 Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 + x} \right]^7}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 + x} \right]^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{1 + x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^2} + {x^3}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.$ Để có hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2k + h = 6}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = 0}\\ {k = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = 2}\\ {k = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.$Bài 2 Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2x + 3{x^2}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {2x^{k – h}}{\left {3{x^2}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$ Để có hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + h = 4}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..10} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 4;0;3;1;2;2\} .$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là $C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.$ Cách khác Ta có ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}$ $ = {[1 + x2 + 3x]^{10}}$ $ = C_{10}^0$ $ + C_{10}^1x2 + 3x$ $ + C_{10}^2{x^2}{2 + 3x^2}$ $ + C_{10}^3{x^3}{2 + 3x^3}$ $ + C_{10}^4{x^4}{2 + 3x^4}$ $ + C_{10}^5{x^5}{2 + 3x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{2 + 3x^{10}}.$ Ta nhận thấy rằng số mũ của $x$ trong khai triển tăng dần, và ${x^4}$ chỉ chứa trong số hạng thứ $2$, thứ $3$, thứ $4$ trong khai triển trên. Từ đó ta phân tích các khai triển $C_{10}^2{x^2}{2 + 3x^2}$ $ = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}$ $ + C_{10}^2C_2^ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.$ $C_{10}^3{x^3}{2 + 3x^3}$ $ = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}$ $ + C_{10}^3C_3^2{ $ + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.$ $C_{10}^4{x^4}{2 + 3x^4}$ $ = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}$ $ + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là $C_{10}^4C_4^0{2^4}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}$ $ = 8085.$Bài 3 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^9}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {2x^{k – h}}{\left { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{2^{k – h}}{ – 1^h}{x^{k – 3h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^kC_k^h{2^{k – h}}{ – 1^h}{x^{k – 3h}}.$ Để có số hạng không chứa $x$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k – 3h = 0}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 3;1;6;2;9;3\} .$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_9^3C_3^1{2^2}{ – 1^1}$ $ + C_9^6C_6^2{2^4}{ – 1^2}$ $ + C_9^9C_9^3{2^6}{ – 1^3}$ $ = 14122.$Bài 4 Tìm số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển ${\left {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^k}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right^{k – h}}{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^h}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{ – 2^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^kC_k^h{ – 2^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$ Để có số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3k – 7h = – 2}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4}\\ {h = 2} \end{array}} \right..$ Vậy số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển là $C_7^4C_4^2{ – 2^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.$Bài 5 Khai triển $fx = {\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ và viết lại dưới dạng $fx = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_9}.$Lời giải Ta có $fx = {\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ $ = {1 + x^5}{\left {1 + {x^3}} \right^5}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left {{x^3}} \right^l}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.$ Nhận thấy ${a_9}$ chính là hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển, vì vậy chọn $k$, $l$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 3l = 9}\\ {k,l = \overline {0..5} } \end{array}} \right..$ Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {l = \frac{{9 – k}}{3}}\\ {k,l = \overline {0..5} } \end{array}} \right.$, do đó $k \vdots 3$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 0 \Rightarrow l = 3}\\ {k = 3 \Rightarrow l = 2} \end{array}} \right..$ Vậy có hai cặp số $k,l$ thỏa mãn. Suy ra hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển là $C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.$Bài 6 Giả sử ${\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ có khai triển thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ $ = {\left[ {1 + x\left {1 + {x^2}} \right} \right]^5}$ $ = {1 + x^5}{\left {1 + {x^2}} \right^5}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.$ Chọn $x = -1$, ta được ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{ – 1^{k + 2h}}$ $ = \left {1 – 1 + {1^2} + {{ – 1}^3}} \right = 0.$ Vậy ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.$Bài 7 Trong khai triển ${x + y + z^n}$, tìm số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ $k,m < n.$Lời giải Ta có ${x + y + z^n}$ $ = {[y + z + x]^n}$ $ = C_n^0{y + z^n}$ $ + C_n^1x{y + z^{n – 1}}$ $ + C_n^2{x^2}{y + z^{n – 2}}$ $ + \ldots + C_n^k{x^k}{y + z^{n – k}}$ $ + \ldots + C_n^n{x^n}.$ Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ nằm trong khai triển $C_n^k{x^k}{y + z^{n – k}}.$ Mặt khác ta có ${y + z^{n – k}}$ $ = C_{n – k}^0{z^{n – k}}$ $ + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}$ $ + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.$ Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ trong khai triển là $C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.$Bài 8 Trong khai triển ${\left {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right^{10}}$, tìm số hạng chứa ${x^5}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ $ = {\left[ {1 + x\left {1 + 2{x^2}} \right} \right]^{10}}$ $ = {1 + x^{10}}{\left {1 + 2{x^2}} \right^{10}}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$ Để có số hạng chứa ${x^5}$, ta chọn $k$, $h$ sao cho $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 2h = 5}\\ {h,k = \overline {0..10} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 1;2;3;1\} .$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}$ $ = 12000{x^5}.$

tìm hệ số của số hạng chứa x 8